波浪理論

碎形一般是指「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少會大略）是整體縮小尺寸的形狀」^[1]，此一性質稱為自相似。碎形一詞是由本華·曼德博於1975年提出的，有「零碎」、「破裂」之意。

碎形一般有以下特質：^[2]

• 在任意小的尺度上都能有精細的結構；
• 太不規則，以至難以傳統歐氏幾何的語言來描述；
• （至少是大略或任意地）自相似
• 郝斯多夫維數會大於拓撲維數（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；
• 有著簡單的遞歸定義。

因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限複雜的（以不嚴謹的用詞來說）。自然界裡一定程度類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線和雪片等等。但是，並不是所有自相似的東西都是碎形，如實線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合碎形的其他特質。

17世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似，碎形的數學從那時開始漸漸地成形（雖然他誤認只有直線會自相似）。

直到1872年，卡爾·魏爾施特拉斯給出一個處處連續但處處不可微的例子，在今日被認為是碎形的圖形才出現。1904年，科赫·范·卡區不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義，給出一個相似函數但更幾何的定義，今日稱之為科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯。原本，這些幾何碎形都被認為是碎形，而不如現今所認為的二維形狀。1938年，保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進，他在文中描述了一個新的碎形曲線－萊維C形曲線。

格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實數子集－康托爾集，今日也被認為是碎形。

複數平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被儒勒·昂利·龐加萊、菲利克斯·克萊因、皮埃爾·法圖和加斯東·茹利亞等人所研究，但直到現在有電腦繪圖的幫忙，許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來。

1960年代，本華·曼德博開始研究自相似，且寫下一篇論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。最後，1975年，曼德博提出了「碎形」一詞，來標記一個物件，其郝斯多夫維數會大於拓撲維數。曼德博以顯著的電腦架構圖像來描繪此一數學定義，這些圖像有著普遍的映象；許多都基於遞歸，以至「碎形」的一般意思。